各位同學大家好 我是李永樂老師之前我們講了幾期關於萬有引力的話題有小朋友就給我提了這樣一個奇葩的提問他說如果在地球上兩點之間打一個洞人跳進洞裏會發生什麼呢那今天我們就來研究一下這件事為了研究這件事我們首先從一個很簡單的運動 簡諧運動說起什麼是簡諧運動呢我們首先來看最簡單的簡諧運動假如有一根彈簧這根彈簧它的平衡位置在這個位置但是我拉長這根彈簧前面連了一個小球 然後把小球釋放此時在彈簧彈力的作用下小球就會回縮到原長的這個位置但是到了這個位置之後它一直在加速所以它速度不會變成零
它會繼續往前沖壓縮彈簧壓縮到一定時候它又會停下來然後再反向運動 如此往復如果沒有任何阻力的話 它就會來回的振動那麼這種振動我們就稱之為彈簧振子而彈簧振子就是最簡單的簡諧運動簡諧運動有什麼樣的特點呢我們以彈簧振子為例首先我們來看第一個特點小球會受到彈簧的彈力彈簧的彈力是跟你的彈簧形變量成正比的如果彈簧的原長在這個位置那麼從這到小球此刻的位置這個距離叫x彈簧的彈力就應該等於kx其中這個k叫做勁度系數這個公式就叫做胡克定律也就是說彈簧伸長或者壓縮的越多 它彈力就越大這是第一個特點這叫回復力與位移成正比這個x是你偏離平衡位置的位移F是你的受力
而k是一個比例系數第二個特點就是當這個小球在右側的時候它的回復力是向左的但是如果小球跑到左端壓縮彈簧了那麼這樣的話它的彈力就會向右所以是回復力與位移是反向的在這樣的一個作用力下小球的來回振動我們就稱之為簡諧振動簡諧振動是一種最基本的振動它有很多種方法可以進行研究比如說我們可以把簡諧振動類比成一個圓周運動怎麼類比呢我們可以在這裏畫一個圓並且讓這個圓的半徑剛好等於簡諧運動的振幅此刻這裏有一個小球正在做勻速圓周運動那麼這個小球的水平分運動其實就是一個簡諧運動或者我們可以這麼說當小球在這個圓上做勻速圓周運動的時候上面的彈簧振子在左右振蕩它們兩個總是可以保證在同一條豎直線上就是這樣的運動… 是吧同樣道理 這個小球圓周運動的豎直分量其實也是可以等效成一個簡諧運動的我們可以看成是有一根彈簧連接一個小球在豎直面內上下的振動 上下的振動於是二者之間可能會出現這樣的效果所以其實一個圓周運動是可以分解為兩個簡諧運動的或者說兩個簡諧運動可以合成一個圓周運動通過這種方法
我們可以計算簡諧運動的周期就是它往復來回一次的時間具體的計算不給大家推導了結論就是簡諧運動周期和圓周運動一樣那麼這個周期應該等於2π√(m/k)其中這個m就是物體的質量這個k就是它的回復力與它偏移的距離之比就是這個彈簧它的勁度系數k好了 我們之前講過波的問題假如說有一個波源它正在做簡諧運動的正在做簡諧運動 上下振動 這個小球正在上下振動同時我們讓這個彈簧再勻速向右的移動小球一邊上下振動
一邊勻速向右移動那麼你知道小球的軌跡是什麼樣的嗎小球的軌跡就會是這個樣子的就會是一個正弦的情況這種情況它就形成了一個波這就叫簡諧波也就是說如果波源是一個簡諧運動那麼這個波源發出的波就稱之為簡諧波簡諧運動在生活中是非常非常常見的我們舉幾個例子比如說有一個小鳥 在樹枝上站着在樹枝上這麼站着 是吧這個時候因為樹枝是有彈力的而且壓縮樹枝壓縮得越厲害 彈力就越大所以這個小鳥會受到一個重力的作用同時會受到一個彈力的作用那麼這兩個力的合力就構成了小鳥的回復力在運動過程中小鳥存在一個平衡位置然後它在上下振動就是一個簡諧運動再比如說舉個例子比如說在一個水面上漂浮了一個木塊木塊有一個平衡位置此時它受到的重力mg和它的浮力是平衡的那麼假如我把這個木塊往下摁一點
浮力就會增大所以這個木塊合力就向上如果把木塊往上提一點 那麼浮力就減小這樣的話這個木塊就往下掉所以木塊的上下振動也是簡諧運動還有一個最典型的簡諧運動就是單擺什麼意思呢一個小球連在一根繩子上左右擺動如果這個擺動的角度不太大的話那麼小球的左右擺動也是一個簡諧運動它受到了一個重力的作用這個重力可以分解成兩個力一個力是沿着繩子的力一個力是垂直繩子的力而這個垂直繩子的力就使這個小球往回運動所以它也是一個簡諧運動根據傅立葉變換 我們其實知道這樣一件事就是哪怕這個運動形式它不是簡諧運動只要它是周期性的我總可以把它分解成一系列的簡諧運動的合成所以簡諧運動就是最基本的運動了好了 我們理解了簡諧運動之後我們就可以研究一下關於這個地球打洞的問題到底該怎麼樣去處理了首先我們來看一下假如說這是一個地球我們暫時不考慮地球的自轉也不考慮地球的公轉也不考慮地球密度的變化而且也不考慮地球裏邊有巖漿之類的什麼都不考慮我們就從地球的一端打一個洞打到另外一端這個洞非常非常小好
那麼假如有一個人跳到這個洞裏面會有什麼效果呢我們看這個人跳到洞裏之後他就會受到地球的引力就會受到地球的引力 對吧而且這個引力大小該怎麼去計算呢我們根據物理公式可以知道此時地球的引力要分兩個部分一個部分是在這個人下方的這一部分地球質量對人的引力另外一部分是人上方的這個外邊這個殼它對人的引力但是我們會發現就是外邊這個殼它的合力其實是零這個引力其實是零人受到的引力其實都是裏邊的這個小球小的地球給人的這是通過物理學公式我們可以證明的好 假設小的球半徑是r好 我現在想計算一下
人受到的引力有多大根據萬有引力的公式萬有引力等於GM…這M是裏邊那個小球的小的地球的質量再乘以人的質量m 再除以人到地心的距離r^2那麼我們還知道一件事就是地球的裏邊的部分它的質量等於地球的密度再乘以裏邊這個球的體積4/3×πr^3然後我們把這個結果我們代入到上面這個結果裏去我們看F等於多少這個是πr^3 底下有個r^2 我就會約掉一個r^2所以結果是4/3×πρGmr大家看4/3×πρGmG是萬有引力常數
m是人的質量這個ρ是地球的密度 這些都是不變的當人往下掉的時候唯一變化的一個就是人到地心的距離r所以我們說此時的回復力怎麼着是不是與它的位移成正比了回復力與位移成正比並且指向地心這是什麼運動 這是簡諧運動所以這個人會加速到達地心然後減速到達另一端剛好速度變為零然後再反向加速到地心然後再反向減速到這一點出發點來回運動就是一個周期了那麼現在問題來了 你的周期是多少我們根據剛才的公式這個公式可以計算一下周期等於2π√(m/k)誰是k
k就是回復力與位移之比也就是這裏面的4/3×πρGm對吧4/3×πρGm我們把這裏面兩個m約掉就會得到2π√(3/(4πρG))就得到這麼一個結果我們發現這個周期其實與人的質量是沒有什麼關系的它只跟兩個因素有關一個是ρ 這個ρ是地球的密度還有一個是GG是萬有引力常數我們可以把這兩個數值代進去地球的密度是5.5×10^3千克每立方米引力常數是6.67×10^-11 這麼大我們把這些數據都代進去 最後會算出多少會算出這個周期T是多少是5077秒
大約是84分鐘84分鐘什麼意思就是說你從A點出發走到了B點然後再回來 一共是84分鐘那你要是從A到B需要多長時間我們就可以知道了從A到B只需要42分鐘我們在地球上打一個直徑結果從一端進去 然後就會加速到地心然後再減速到另外一端一共只需要花42分鐘的時間我們連飛機都不用坐了 對吧飛機你從一點到另外一點你需要好多個小時
十幾個小時但是現在我們只需要42分鐘利用的就是地球的引力其實也不一定非得打穿一個直徑地球上任意兩個點打一個洞都是一樣的比如說我們在這兩個點之間打一個洞然後我們把人從A點放入 他也會運動到B點而且他也是簡諧的 為什麼呢因為人在運動過程中會受到一個指向地心的引力然後我們把這個引力分解分解成一個水平方向的和一個豎直方向的豎直方向這個力可以靠這個管壁的支持力抵消掉你不用管它水平方向的力也是與距離成正比的所以他在水平方向依然是簡諧運動那這個周期跟剛才算的是一樣5077秒所以你依然是花了42分鐘左右就會到達B點所以以後如果科技發達的我們可以從一個點打一個洞 打到另外一個點然後把那個管壁做得非常光滑人跳進去就得了我們就不用開飛機了
是吧關於這個問題結論就是這樣大家如果還有什麼奇葩的問題也可以給我留言或者發私信歡迎大家在西瓜視頻和YouTube帳號李永樂老師裏訂閱我