麦克斯韦方程组是什么?电场和磁场有什么重要联系?李永乐老师讲最美物理公式

各位同學 大家好 我是李永樂老師一直有小朋友問我這電場和磁場到底是什麼它們之間有什麼關系那我們今天就來研究一個關於電場和磁場的最重要的方程組麥克斯韋方程組我們首先來解釋一下電場和磁場這兩個概念電場和磁場並不是一個虛擬的概念而是一種確實存在的物質那麼電場和磁場的提出是法拉第最開始人們並不清楚說兩個電荷之間有相互作用到底是為什麼有人就說這兩個電荷之間就是有作用不需要時間和空間但是法拉第認為這是不對的法拉第說之所以兩個電荷之間有力的作用是因為有一個電荷它會在周圍空間產生一種物質這種物質叫做電場法拉第起了這麼個名字那麼這個電場會怎麼樣會傳播傳播…傳播到另外一個電荷處然後對另外一個電荷就有力的作用了這就是電荷之間有力的作用的原因它是通過電場傳播的反過來說第二個電荷為什麼對第一個電荷也有力呢也是一樣的第二個電荷也產生了電場這個電場又傳播到第一個電荷處就反過來對第一個電荷有反作用力了法拉第不僅僅提出了電場的概念他還發明了一種描述電場的方法比如說空間中有一個正電荷這個正電荷就會在周圍空間產生一種物質這種物質就是電場電場看不見摸不著 但是它確實存在說那看不見摸不著
你怎麼知道它存在呢因為你可以利用它的性質它的性質就是可以對其他電荷有力的作用你在這兒放一個正電荷你會感覺到這個正電荷受力向右受到這個電荷的排斥所以這個點就存在電場 它的電場方向是向右的你在這個點放一個正電荷 正電荷受力就向右上說明這一點場的方向就是向右上的而且第二個電荷靠的越近 它受力就越大第二個電荷離得越遠
受力就越小所以這個場源電荷它所產生的電場也是近大遠小的法拉第說我們可以用一些有向線段來描述電場這個線段的箭頭方向就表示電場的方向而這個線段的疏密就表示電場的強弱所以你看這個地方這個電場線比較密所以它表示場比較強 遠處就場比較弱這個就是電場電場是由電荷產生的法拉第提出場的概念之後人們就用這種概念去寫磁場說假如這裏有一個磁體那磁體對其他的地方的小磁針也會有力的作用所以人們就想可能磁體會產生一種物質這種物質叫磁場那麼把小磁針放在不同的部位就可以知道磁感線的方向畫出來之後 大概是這個樣子的磁感線跟電場一樣 也是一些有向線段來描述的並且這個線段越密的地方磁場就越強越稀疏的地方磁場就越弱那你比如說
這個磁鐵內部它的磁場是最強的磁鐵外部腰這個位置它的磁場應該是比較弱的兩極磁場比較強 對吧這個就是磁場總而言之 不管是電場還是磁場 它都是一種物質電場是由電荷產生的而在我們這張圖上磁場是由磁體產生的好
那麼它們之間有什麼聯系呢最初人們認為電場和磁場之間其實沒有什麼聯系都是分立的不過後來人們逐漸的認識到電和磁之間是有很重要的聯系的是誰發現了這個特點呢第一個人就是奧斯特他發現了原來電可以生磁 電生磁丹麥的物理學家奧斯特發現的這個奧斯特他怎麼發現呢他有一次給學生做講座的時候這裏有一個電流然後底下放了一個小磁針小磁針就是一個小條形磁鐵結果就發現這個小磁針就轉了他說小磁針為什麼轉呢 因為空間中有磁場那麼為什麼會有磁場呢 因為有電流所以他就判斷出來了原來電流是可以產生磁場的現在我們知道電流產生的磁場是這個樣子的一圈一圈的好
那麼除此之外既然電可以生磁 磁能不能生電呢磁生電又是誰發現的就是剛才我們說的英國物理學家法拉第法拉第知道了奧斯特電生磁的實驗之後他就想既然電可以生磁 那磁能不能生電呢 對吧我們怎麼樣通過磁的方法去生電它涉及到很多很多的實驗
最終才發現了磁生電的規律磁生電的規律是什麼規律呢就是在運動和變化的磁場… 運動和變化的磁場它可以怎麼樣 它可以產生電流這個也就是法拉第電磁感應定律我們舉一個簡單例子比如說這裏有一個金屬板 它是一個導體的它是個導體板上面有一個磁鐵
這個磁鐵N極和S極現在這個磁鐵往下運動在往下運動的時候 金屬板上其實就會產生電流這個電流是一圈一圈的我們稱之為渦流 就會產生電流那為什麼會有電流呢現在我們看起來就是因為什麼這個磁場在發生變化 磁場發生變化了之後就會產生電流了就這麼一個特點法拉第發現了磁可以生電之後利用這種方法發明了發電機
為全世界提供了電能但是法拉第其實並不清楚為什麼磁能夠生電後來有一個比法拉第年輕40歲的科學家叫做麥克斯韋麥克斯韋找到法拉利說我可以用數學來解釋為什麼這個磁鐵往下走的時候就可以產生電流然後這法拉第看了之後非常開心他就跟這麥克斯韋說說你不應該僅局限於用數學解釋我的觀點更應該有所創新在老一輩的這科學家的鼓勵下麥克斯韋終於就提出了自己的方程組麥克斯韋方程組了那現在咱們就來說一說麥克斯韋方程組又是什麼麥克斯韋電磁學方程組麥克斯韋方程組被稱為世界上最漂亮的物理公式之一那麼這個最漂亮的物理公式要想理解它我們首先得了解一些數學工具首先我們先來做一下數學基礎我們並不需要把數學學得太多我們只要了解一點點就夠了首先我們要知道一個概念叫做通量比如說我們這裏有一個面 面積是S面有一個法線此時有一個場斜著穿過了這個面E我們表示的是電場電場我們用字母E來表示而磁場我們用字母B來表示假如有一個電場斜著穿過了面此時我們就說我可以把電場分解成兩個一個是垂直於這個面的假如電場與法線夾角是θ那麼垂直這個分量就是Ecos(θ)我們發現垂直於面的電場可以算是穿過了這個面 對不對還有一個電場分量是沿着這個面這個分量沒有穿過這個面然後我們就說我可以定義一個叫做通量的東西通量是什麼呢通量就是垂直穿過這個面的電場分量Ecos(θ)再乘以這個面的面積S這就是所謂的通量 通量一般用字母φ來表示它表示等於這個φ
這就叫通量其實通量的含義是什麼通量的含義就是穿過這個面的電場線根數我們可以用一個通俗的說法就是根數來表示它不過如果電場它是各處不同的怎麼辦如果各處不同我們可以把它寫成一個積分的形式這個積分的形式就是在這個面上做積分E·dS(註意是向量)其實含義就是穿過這個面的電場線根數如果這個電場是勻強的你就可以用上面這個式子來表示如果不是勻強的 我們就用積分式來表示就可以了它表示把這個電場分解成兩個把這個垂直面的分量再乘以面積如果每個地方電場不同你就把每個地方的電場乘以小面積再進行累加這就叫通量好 除了通量以外我們還要知道一個叫做路徑積分的意思路徑積分是什麼比如說電場E是朝右的 電場是朝右的然後有一個路徑
這個路徑是斜著的AB斜著的 路徑的長度是l這個時候二者之間有個夾角θ所謂路徑積分就是 還是我們把電場分出兩個來一個是沿這個路徑的 一個是垂直路徑的沿這個路徑的分量應該是Ecos(θ)
對不對我們用沿這個路徑的分量乘以路徑長度這就叫路徑積分路徑積分如果電場是勻強的 那我們可以寫成是Ecos(θ)×l 對不對但是假如我們不勻強的話 我們可以用積分形式來寫積分形式來寫
就是沿着這條線進行積分E·dl它的意思就是你把這個E分解成沿着這條線的然後把這個沿這條線的分量再乘以長度一段一段乘再把它加起來 這就叫路徑積分現在我明白了這兩個量一個叫做通量 就是在面上做積分一個叫路徑積分 是沿着這條線做積分的我明白了這個
我們就可以研究麥克斯韋方程組了那麼說完了這兩個式子我們就可以研究一下麥克斯韋方程組了麥克斯韋方程組有很多的形式我們說它其中的一種形式 積分形式咱們首先來看第一個方程第一個方程是什麼麥克斯韋就想這個電場是誰產生的 是電荷產生的對吧 電荷越多產生電場越強所以我可以這樣我可以做一個閉合的曲面大家註意看
這個面它是個面 它不是一條線我沒法畫出這個面了 反正是一個包起來的面是一個閉合的面 我做一個閉合的面把這個電荷包起來這樣一來
這個電荷越多它產生的電場越強所以這個面的電通量是不是就越大那麼假如說我這個閉合曲面 我不包圍任何的電荷那麼有一些電場會穿進這個面 有一些電場會穿出這個面所以呢 這個面的電通量是不是就是0所以麥克斯韋就想到了說一個閉合曲面的電通量是取決於它內部包圍了多少電荷的於是他就寫出了第一個式子第一個式子是在一個閉合曲面上做電場的通量其實就是穿過這個面的電場線根數它等於什麼它等於包圍的電荷量q再除以一個常數ε0這裏邊這個q就是這個閉合曲面所包圍的總電荷而這個ε0叫真空介電常數它就是一個常數
真空介電常數好 這個式子其實就是告訴我們說一個閉合曲面的電通量 它取決於裏邊包了多少電荷如果裏邊不包圍電荷的話那麼這個面整體的電通量之和一定是零這個是第一個式子又因為這個式子我們就知道電場是有出發點的出發點是什麼 就是電荷
對不對所以電場它是一個什麼場 是一個有源場這就是第一個好 我們再來看第二個如果我們把這種方法再用到磁場上會怎麼樣你有沒有發現磁場跟電場不太一樣磁場它並不是從一個地方出發到另外一個地方結束的磁場它是一個閉合的線每一個磁感線它都是閉合的所以我們不管怎麼樣取一個閉合曲面你看我這麼取也行 或者我這麼取也行我不管怎麼取閉合曲面每一根磁感線都是既要穿入又要穿出所以你說這個閉合曲面的磁通量應該是多少是不是應該是零所以我們有第二個式子在一個閉合曲面上磁場再點乘dS
這叫磁通量一個閉合曲面的磁通量得幾 得零這個就說明磁場是一種什麼場 是一種無源場電場和磁場不太一樣電場是有源的 它的源就是電荷而磁場是無源的
因為不存在磁荷這種東西單獨的一個單磁子說這個渾身都是N極的 沒有有N極就有S級 每一根磁感線都是閉合的所以任何一個閉合曲面的磁通量都是多少 零閉合曲面磁通量是零好
我們看第三個式子第三個式子是為了解釋法拉第電磁感應定律也就是說法拉第當時有這樣的一個結論說有一個磁鐵 它在往下運動的時候在導體板上會產生電流然後麥克斯韋說我要解釋一下為什麼會產生電流這是因為磁鐵會產生什麼 會產生磁場 對吧而且你現在
這個磁鐵往下運動 所以這個磁場會變大磁場一旦變大了就會產生電流電流是怎麼產生的 電流是電荷運動產生的電荷為什麼要運動 因為有電場所以麥克斯韋就說電場有一種產生的方法就是當磁場變化時就會產生電場
對吧所以他把這個式子寫成了這樣一種形式這就是第三個方程組在一個閉合的曲線上這個閉合曲線上我們做電場的路徑積分這實際上就是電動勢 電場做路徑積分比如在這個圓圈上我們把電場乘以周長 這是電場路徑積分它取決於什麼 它取決於磁場的變化率等於-∂/∂t在這個面上做磁場通量也就是說你在這個面上把磁通量求出來這就是B·dS比如說我們在這個面上
我們把磁通量求出來求完了磁通量之後 把磁通量對時間求導數就是求對時間的變化率求完對時間的變化率之後 這個變化率就等於什麼等於這邊緣這一圈的電場的路徑積分這個告訴我們 說磁通量的變化可以引起什麼引起感應電動勢和感應電流這就是第三個方程它其實就是可以解釋法拉第電磁感應定律的可以解釋電磁感應定律前三個式子如果說僅僅是用數學規律解釋已經發現的東西那第四個就完全是麥克斯韋自己的創新了他就想你看既然磁場的變化可以引起電場那反過來說電場的變化是不是也應該能夠引起磁場呢在之前人們已經認識到了說電流可以引起磁場對吧
電流周圍它是存在磁場的現在麥克斯韋猜想也許不光是電流就是變化的電場它周圍也會有磁場於是他又寫出了第四個式子第四個式子是磁場沿一個閉合路徑的路徑積分沿一個閉合路徑的路徑積分 比如說繞環轉一圈它等於什麼它等於μ0×I就首先你看有沒有電流 如果有電流就可以產生磁場如果沒有電流還有一項就是變化的電場它也能夠產生磁場 E·dS什麼意思呢就是電場通量的時間變化率會引起磁場而電流也會引起磁場那麼這個公式就完全是麥克斯韋獨自提出來的那麼他的這種想法是基於以前已經知道的一些結論那這裏面這有一個μ0這μ0叫真空磁導率它也是一個常數就好像剛才那ε0是真空介電常數一樣這μ0也是一個常數好
這四個方程就是麥克斯韋方程組了它是一種積分形式通過這四個方程我們就已經知道電場和磁場之間有什麼樣的相互關系了麥克斯韋不僅僅得出了這四個方程組他通過這四個方程組繼續往下進行計算怎麼計算你看假如電磁場是存在於真空中的真空中有什麼特點 真空中沒有電荷吧所以q是等於0同時在真空之中也沒有什麼 也沒有電流電流也等於0 所以咱們再重新看這四個方程第一個方程就告訴我們電場的通量也等於0說電場也變成無源的了
磁場也是無源的而電場的產生完全是由於磁通量的變化 對吧也就是磁場可以激發電場再看最後一個式子 磁場的產生沒有電流嗎所以完全是由於電場的變化也說電場激發磁場這樣一來電場和磁場就可以相互激發了 對不對它通過數學推導得出這麼一個式子叫做(▽^2-μ0ε0∂^2/∂t^2)E=0這麼一個式子
磁場也一樣這個式子大家可能不是很懂這裏邊倒三角平方叫拉普拉斯算子它也是一個比較奇怪的微分式後面的這個是對時間求二次導數 對吧反正就有這麼一個式子這個式子如果我們繼續往下推導其實可以解出什麼 解出電場矢量的變化規律電場矢量等於什麼等於.
滿足這樣的一個表達式E=E0cos(ωt-kx) 這麼一個表達式什麼意思就是假如這是一個x軸電場矢量其實會成一個餘弦的波的形式往前進行傳播而且這某一個點的電場矢量強度有兩個因素影響第一個因素就是位移x 不同的位移處你電場不一樣還有一個就是時間t隨着時間的變化它電場也是不一樣的所以通過這個方程我們就發現電場其實是一個什麼 其實是一個行波它可以往前走
它是一種波 對吧它是一種波 磁場也是一樣我們把磁場同樣的寫出來你就會發現磁場不過就是與電場垂直它也是一個波 往前傳播不僅僅如此
麥克斯韋還經過計算得出來了波的速度 波速這個波速v有多大呢等於1/√(μ0ε0)這個數學推導就不給大家展示了反正最後結論是這個樣子的μ0是真空磁導率 而ε0是真空介電常數這個數算完了得幾 得3×10^8大家看
這數是什麼 是光速對不對所以麥克斯韋說你看這個電磁波在真空中相互激發電場激發磁場 磁場激發電場然後往前傳它是一種波的形式這個波的波速剛好是光速所以他就預言了一件事 什麼事預言光就是一種電磁波他首先預言電磁波的存在然後他又說不僅僅電磁波是存在的而且光也是電磁波
這都是他的預言但是很遺憾麥克斯韋也沒有親自驗證這件事 他就去世了麥克斯緯40多歲就去世了那麼他去世之後赫茲通過實驗真正的證實電磁波是存在的並且測出了電磁波的波速一看剛好就是光速 正式證實了光確實是電磁波我們之前講過人們最開始認為光是粒子 比如牛頓也有人認為光是波
比如說像惠更斯後來人們逐漸偏向的波的觀點但是不知道光這種波到底是什麼只有到了麥克斯韋 人們才真正弄清楚光是一種電磁波是電場磁場相互激發向前傳播的一種物質當時麥克斯韋方程組提出來之後物理學家們信心極度膨脹就比如說開爾文爵士就說 說物理學大廈已經基本建成了我們後世只要做一些什麼修修補補的工作就可以了我們知道在麥克斯韋之前 最偉大的物理學家是牛頓因為他統一了天上和地下他的三大定律和萬有引力定律讓我們知道月亮和蘋果其實滿足同樣的物理規律在麥克斯韋之後
最偉大的物理學家是愛因斯坦愛因斯坦統一了時間和空間 也就是相對論而在牛頓和愛因斯坦之間最偉大的人其實就是麥克斯韋因為他通過麥克斯韋方程組統一了電場和磁場正因為有了麥克斯韋方程組我們才可以使用無線電進行通訊我們才可以刷手機 才可以看電視 才可以跟別人打電話不僅如此
現代的物理學比如量子力學和相對論無疑不是建立在麥克斯韋方程組的基礎之上麥克斯韋也為現代物理學的開拓做出了重要的貢獻那麼到此為止人們正式認為光是一種電磁波了人們覺得對於光的本性已經認識清楚了直到後來愛因斯坦出現了之後發現光還具有粒子性於是再次提出了光的波粒二象性那麼光的波粒二象性問題我們會在下一節課再給大家做介紹大家如果喜歡我的視頻可以在西瓜視頻和YouTube帳號李永樂老師裏關註我